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Abstract
We give a partial stratification of the secant varieties of the order $d$ Veronese variety of $\mathbb {P}^m$. We will focus on points lying on the span of curvilinear subschemes of Veronese varieties and we compute their symmetric rank for small border rank. We will also describe the structure of the Hilbert schemes of curvilinear subschemes of Veronese varieties.
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