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Abstract
In this paper we are concerned with Harnack inequalities for non-negative solutions to a class of second order hypoelliptic ultraparabolic partial differential equations in the form $$L u:= X_1^2 u + ... + X_m^2 u + X_0 u - \partial_t u = 0$$ where the vector fields $X_1, \dots, X_m$ and $X_0 - \partial_t$ are invariant with respect to a suitable homogeneous Lie group on $R^{N+1}$. Our main goal is the following result: consider any domain $Omega$ of $R^{N+1}$ and fix any $(x_0,t_0)$ in $Omega$. We give a geometric sufficient condition on the compact subsets $K$ of $Omega$ for which the Harnack inequality $$\sup_{K} u \le C_K u(x_0,t_0)$$ holds for all non-negative solutions $u$ to the equation $L u=0$ in $Omega$. We also compare our result with an abstract Harnack inequality from potential theory.
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