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Abstract
The Hausdorff distance, the Gromov-Hausdorff, the Fréchet and the natural pseudo-distances are instances of dissimilarity measures widely used in shape comparison. We show that they share the property of being defined as $inf_{\rho} F(\rho)$ where $F$ is a suitable functional and $\rho$ varies in a set of correspondences containing the set of homeomorphisms. Our main result states that the set of homeomorphisms cannot be enlarged to a metric space $K$, in such a way that the composition in $K$ (extending the composition of homeomorphisms) passes to the limit and, at the same time, $K$ is compact.
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